横轴为1, 2, 3, 4, ⋯,纵轴为相应于横轴的级数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。图中曲线为平滑后之渐近线,其与纵轴相交的截距值为−1 ⁄12
无穷级数 中1 + 2 + 3 + 4 + … 为所有自然数 的和,是一个发散级数 ,其数学式也写作
∑
n
=
1
∞
n
{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infin} n}
此级数前 n 项的部分和 即是三角形数 :
∑
n
=
1
n
n
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum_{n=1}^n n = \frac{n(n+1)}{2}}
尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透过黎曼ζ函数正规化 与拉马努金求和 等方法可产生一有限值
−
1
12
{\displaystyle -\frac{1}{12}}
,表示为:
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
=
−
1
12
{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}}
此结果在复分析 、量子力学 及弦理论 等领域中有所应用。
部分和公式的证明
自然数从 1 加到 n 的和是
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}
能用许多方法证明。首先令
S
n
=
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
+
(
n
−
2
)
+
(
n
−
1
)
+
n
.
{\displaystyle S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n.\,}
我们将这些项重排反着写:
S
n
=
n
+
(
n
−
1
)
+
(
n
−
2
)
+
⋯
+
4
+
3
+
2
+
1.
{\displaystyle S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 4 + 3 + 2 + 1.\,}
将两者相加,对应项相加,我们得到
2
S
n
=
(
n
+
1
)
+
[
(
n
−
1
)
+
2
]
+
[
(
n
−
2
)
+
3
]
+
⋯
+
[
3
+
(
n
−
2
)
]
+
[
2
+
(
n
−
1
)
]
+
(
1
+
n
)
⏟
n
,
{\displaystyle 2S_n = \underbrace{(n+1) + [(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots+[3+(n-2)]+[2+(n-1)] + (1+n)}_{n},}
2
S
n
=
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
+
⋯
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
⏟
n
,
{\displaystyle 2S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) + (n+1)}_{n},}
2
S
n
=
n
⋅
(
n
+
1
)
,
{\displaystyle 2S_n = n\cdot(n + 1),}
S
n
=
n
(
n
+
1
)
2
.
{\displaystyle S_n = \frac{n(n+1)}{2}.}
ζ函数的求和与解析连续性
当 s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数 等于求和
∑
n
=
1
∞
n
−
s
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}}
。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓 给出 ζ(−1) 为
−
1
12
{\displaystyle -\frac{1}{12}}
。
1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉马努金另外给其定义,其拉马努金和 为
−
1
12
{\displaystyle -\frac{1}{12}}
[1] 。
物理
在玻色弦理论 中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为一组
D
{\displaystyle D}
无关量子谐振子 ,这里
D
{\displaystyle D}
是时空的维数。如果基本振子频率是
ω
{\displaystyle \omega}
则一个振子对
n
{\displaystyle n}
级谐波的贡献是
n
ℏ
ω
2
{\displaystyle \frac{n\hbar\omega}{2}}
。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是
−
ℏ
ω
(
D
−
2
)
24
{\displaystyle -\frac{\hbar\omega (D-2)}{24}}
。最后这确实是正确的,与Goddard–Thorn theorem 一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。
一个类似的计算是计算卡西米尔力 。
历史
在拉马努金 写给戈弗雷·哈罗德·哈代 的第二封信中(日期为1913年2月27日):
“亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布罗米奇 的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
=
−
1
12
{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}}
。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。”[2]
注释
↑ Hardy p.333
↑ Berndt et al p.53. "Bromwich" 处链接为编辑所加并作了一些版式改动。
引用
Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9.
Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967 .
延伸阅读
Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function . Contemporary Mathematics. 1999, 248 : 327–340 [2008-12-13 ] .
Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6. See pp. 65–6 on the Casimir effect.
Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293.
外部链接