祖暅原理

祖暅（gèng）原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。”

该原理最早由中国古代数学家刘徽提出。南北朝时又被祖冲之的儿子祖暅提出。祖冲之两父子采用这一原理，求出了牟合方盖的体积，进而算出球体积。在欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理。

在现代的解析几何和测度应用中，祖暅原理是富比尼定理中的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明，只发表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae中，用以证明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以计算某些立体的体积，甚至超越了阿基米德和开普勒的成绩。这个定理引发了以面积计算体积的方法并成为了积分发展的一个重要步骤。

简单应用

圆柱体

圆柱体

如果垂直转轴切开圆柱体，设$r$为半径，可以得到横切面面积为$\pi r^2$的圆形。根据祖暅原理，圆柱体的体积相等于底面积相等于圆面积$\pi r^2$、高为$h$的长方体，所以半径为$r$和高为$h$的圆柱体体积是$\pi r^2\cdot h$。

半球体

参见：圆柱内切球体

垂直（上）以及水平（下）切开半球体和对照立体

从其中一层以垂直表面的高$h$横切半径为$r$的半球体，根据勾股定理，半径为：

$r'=\sqrt{r^2-h^2}.$

所以横切面面积是：

$\pi\cdot(r')^2=\pi\cdot(r^2-h^2).$

对照立体是一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体，中间有一个圆锥体。高$h$的对照立体环形切面有内圆周$r$以及外圆周$h$，其面积如下：

$\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2=\pi\cdot(r^2-h^2).$

因此两个立体都满足祖暅原理并且有相同体积。对照立体的体积便是圆柱体和圆锥体体积之差，所以

$\pi\cdot r^2\cdot r-\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot r=\frac23\pi\cdot r^3.$

成功利用这条有名的方程计算出半球体体积，从而导出球体体积公式。

微积分

两条方程式积分后的差与两条方程式之差的积分

祖暅原理背后的概念经常出现在微积分中。作为维度的一个例子，因此两条方程式在两个交点间的面积可以利用以下方程获得：

$\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\,\mathrm dx-\int_a^bg(x)\,\mathrm dx$

实质上表示了函数图形$f$和$g$之间的$A_1$面积与函数图形$x\mapsto f(x)-g(x)$下的$A_2$相同，而后者的交点距离与前者相等。由于现代数学中的积分和面积的互相关系，而体积可以通过微分计算，使祖暅原理变得更为少用。

参考文献

• （英文） 伽利略计划：卡瓦列里
• （英文） http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html