相似三角形

相似三角形

如图，三个对应的内角的角度都一样（但边长大小不需一样）的两个三角形，或：对应角相等，对应边成比例的两个三角形称为“相似三角形（similar triangles）”，其对应边之比称为相似比；两个相似比为1的相似三角形称为全等三角形。

• 下列三对边长，称为“对应边”

$\overline{A B} \; \overline{D E}, \overline{B C} \; \overline{E F}, \overline{C A} \; \overline{F D}$

• 下列三对角，称为“对应角”

$\angle A \; \angle D,\angle B \; \angle E,\angle C \; \angle F$

当两个三角形相似时，我们利用下面的符号来表示：

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$

• 利用上面的符号表示时，必须保持对应角的正确顺序，不可随意排列。

判定

• 两个角对应相等的三角形相似(AAA或AA)；
• 两条边成比例，其夹角相等的两个三角形相似(ratio of 2 sides,inc.angles)；

　（与全等类似，两个三角形若两边成比例、且另一角（非夹角）相等，则并不一定相似。）

• 三边均成比例的两个三角形相似(3 sides proportional)；
• 两个直角三角形的斜边、直角边成比例则相似。

性质

对应角相等

若两个三角形相似，则三个对应角相等。

$\angle A =\angle D ,\angle B =\angle E ,\angle C =\angle F$

若2个三角形相似，则三个对应边长成比例。除此之外，两三角形对应的中线、高、角平分线、周长均成比例，面积比是相似比的平方。

$\frac{\overline{A B}}{\overline{D E}} = \frac{\overline{B C}}{\overline{E F}} = \frac{\overline{C A}}{\overline{F D}}=k$ 为两个三角形的相似比。

参考文献

• 三角形的全等与相似（英文）